一阶泰勒展式

考研中涉及到数学分析的知识点很多，其中一阶泰勒公式应该算是比较基础的一个了。下面就来简单介绍一下一阶泰勒公式。

一阶泰勒公式又叫泰勒展开式或者一阶近似式，是数学分析中常用的一种近似计算方法。其实，泰勒公式是一个非常大的知识点，我们今天只介绍一阶泰勒公式的概念和应用。

一阶泰勒公式是说，如果一个函数f(x)在点a处的一阶导数存在，那么可以将其在点a附近展开成一个以a为中心的一次多项式，即

$$f(x)=f(a) f'(a)(xa) o(|xa|)$$

其中o(|xa|)表示当x趋近于a时比(xa)的任何正整数次幂要小，也就是说，这是一阶无穷小。

我们来看一些具体的应用场景。

1. 计算函数在某一点的近似值

设函数f(x)在点x=0处的函数值为$f(0)=1$，且$f'(0)=2$，求f(0.1)的近似值。

利用一阶泰勒公式，可以将f(0.1)展开为

$f(0.1)≈f(0) f'(0)(0.10)=1 2×(0.10)=1.2$。

所以f(0.1)的近似值为1.2。

2. 证明极限

设$f(x)$在$x=a$附近连续，$f(a)=0$，求证：

$$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{xa}=f'(a)$$

由于$f(a)=0$，因此我们可以利用一阶泰勒公式对$f(x)$进行展开：

$$f(x)=f(a) f'(a)(xa) o(|xa|)$$

所以，

$$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{xa}=\lim\limits_{x \to a}\frac{f(a) f'(a)(xa) o(|xa|)}{xa}=f'(a)$$

因此，极限成立。

以上就是一阶泰勒公式的概念和应用。在考研中，一阶泰勒公式常常用来求函数在某一点的近似值，证明极限等等。而对于更加深入的泰勒公式的应用，需要同学们在学习中逐渐理解和掌握。