双重积分是数学分析中的重要内容，也是考研数学中常见的题型之一。下面我们来解析一道典型的双重积分考研题：
考题：计算积分 $\iint_D (x^2 y^2) d\sigma$，其中 $D$ 是由曲线 $y=x^2$，$y=2x$，$x=1$ 围成的区域。
解析：
我们需要确定积分区域 $D$ 的范围。由题意可知，$D$ 被曲线 $y=x^2$，$y=2x$，$x=1$ 围成，因此我们可以通过画图来确定 $D$ 的范围。
从图中可以看出，积分区域 $D$ 的边界为曲线 $y=x^2$ 和 $y=2x$ 所围成的部分，且 $x$ 的取值范围为 $0 \leq x \leq 1$。
我们可以按照积分的顺序进行计算。根据积分区域的形状，我们选择先对 $x$ 进行积分，再对 $y$ 进行积分。
积分表达式变为：
$$\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{2x} (x^2 y^2) dy dx$$对 $y$ 进行积分，得到：
$$\int_{0}^{1} \left[ x^2y \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^{2x} dx$$ $$\int_{0}^{1} \left( 2x^3 - x^4 \frac{8x^3}{3} - \frac{8x^3}{3} \right) dx$$ $$\int_{0}^{1} \left( 2x^3 - x^4 \right) dx$$ $$\left[ \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{1}$$ $$\frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}$$因此，原积分的结果为 $\frac{3}{10}$。
通过画图确定积分区域的范围，按照积分的顺序进行计算，可以解决双重积分的考研题。希望以上解析能帮助您更好地理解双重积分的相关知识。
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