高数考研模拟题

高数部分考研模考卷解析

一、选择题部分

1.

解题思路：

这类题目通常考察基本的微积分知识，特别是对函数性质的理解和运用。根据题目所给函数$f(x)=\sin(x) \cos(x)$，我们需要求$f''(x)$。利用已知的信息，我们求出$f''(\frac{\pi}{4})$。根据$f''(\frac{\pi}{4})>0$，我们可以得出结论，函数$f(x)$在$x=\frac{\pi}{4}$处取得局部最小值。

2.

解题思路：

这是一道典型的极限计算题目。我们可以尝试直接代入$x=0$计算极限，发现得到的结果是$\frac{1}{2}$。我们可以尝试利用夹逼定理或洛必达法则来求解。通过简单的计算，我们得到的极限值是$\frac{1}{2}$。

3.

解题思路：

这是一道典型的微分方程题目，可以利用分离变量的方法求解。将方程两边同时除以$x^2$，然后将变量分离，得到$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2y^2}{x^2}$。对上式两边同时积分，最终得到$y^2=x^2 Cx^2$，其中$C$为积分常数。根据初始条件$y(1)=1$，代入求解得到$C=0$。因此，微分方程的特解为$y^2=x^2$。

二、填空题部分

1.

解题思路：

这是一道求导数的填空题，根据函数$f(x)=\sqrt{x^2 1}$，利用链式法则求导即可。求出$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2 1}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2 1}}$。将$x=0$代入得到$f'(0)=0$。

2.

解题思路：

这是一道定积分题目，可以利用分部积分法求解。令$u=\ln x$，$dv=e^xdx$，则$du=\frac{1}{x}dx$，$v=e^x$。利用分部积分公式$\int u dv=uv\int v du$，进行计算。带入上下限求解定积分的值。

3.

解题思路：

这是一道多重极限的题目，需要使用夹逼定理进行求解。可以观察到当$x\to \infty$时，$y\to \infty$，所以$\lim_{(x,y)\to( \infty, \infty)}xy$是一个无穷大乘积。我们可以尝试将$xy$进行分解，然后利用夹逼定理求解。

三、计算题部分

1.

解题思路：

这是一道概率题目，需要计算事件发生的概率。计算总的可能情况数，即6个骰子每个骰子都有6种可能，所以总的可能情况数为$6^6$。计算不含有4的情况数，可以利用排列组合的方法求解。将不含有4的情况数除以总的可能情况数，得到事件发生的概率。

2.

解题思路：

这是一道线性代数的题目，需要求解向量的线性相关性。将给出的向量构成矩阵，并进行行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵。根据阶梯形矩阵的性质，判断向量的线性相关性。

3.

解题思路：

这是一道微分方程的初值问题，可以通过分离变量和积分的方式求解。将微分方程变形为$\frac{dy}{dt}=\frac{2}{3}(y2)$。将变量分离并进行积分，得到$\frac{3}{2}\ln|y2|=2t C$。根据初始条件求解出积分常数$C$的值。

以上就是对高数部分考研模考卷的解析，希望能对你有所帮助。如果还有其他问题，请随时提出。