考研逻辑题30道

【题目一】

8个人坐在一张圆桌周围，其中4个人选举为代表。选举的规则是每个人都能够选择向自己左边的人投票，一共可以投1~3票。问有多少种可能性？

【解答一】

可以将圆桌拆成首尾相连的线段，则代表分布在线段上。由于每个人可以投1~3票，因此我们可以按照代表的票数将所有情况分类。分别计算代表得到1、2、3张选票的方案数，然后加和即可。

(一) 代表得到1张选票的方案数

我们可以假设A、B、C、D四个人分别得到1张选票，由此推出方案总数即可。假设从A开始按照顺序对4个人进行编号，则首先考虑A向左投票的情况：

若A对D投票，则所有方案数为 2×1×5×4 = 40

若A对C投票，由于C已经投了票，剩下的投票只能从 B 或 D 中选出，因此所有方案数为 2×2×4×3 = 48

若A对B投票，同样的道理，可以得到所有方案数为 2×3×3×2 = 36

所以，代表得到1张选票的方案数为 40 48 36 = 124。

(二) 代表得到2张选票的方案数

假设A、B、C、D四个人中有一个人得到了2张选票，则需要考虑这个人对应的两个位置，以及他所投的两票的情况。例如，如果A得到了2张票，则需要考虑 AB、AC、AD 中任意两组。假设我们选择 AB 和 AC，则剩下两个人 D 和 E 并列在左边（如下图所示，“|” 表示选举结果碰到 A 的方向）

E |①

D AB②AC③

④ |⑤

其中，①、② 和 ③ 是 A 投的票的方向，④ 和 ⑤ 分别是 D 和 E 所在的位置。为了求出所有的方案数，我们需要分别考虑 A 投的是 2 票一致还是不同两种情况。

1）A 投了 2 票一致，共有 C(3,1) 种情况，以 AB 为例：

A 投给了 B，有 C(2,1) 种情况

B 又可以向左投给 D 或者 A，这两种投票领先的情况再乘以 2

C 投给了 A，这种情况就确定了

因此，有 6 种方案

2）A 投的 2 票不同，共有 C(3,2) 种情况，以AB和AC为例：

A 投给了 B 和 C，有 C(2,1)×C(1,1) = 2 种情况，B 可以向左投给 D 或者 A，C 没有投票

A 投给了 B 和 C，有 C(2,1)×C(1,1) = 2 种情况，C 向左投给了 B，B 再向左投给了 A

A 投给了 B 和 C，有 C(2,1)×C(1,1) = 2 种情况，C 向左投给了 A，B 可以向左投给 D 或者 A

A 投给了 B 和 D，有 C(2,1)×C(1,1) = 2 种情况，C