考研数学九道大题

作为考研数学的专家，我将为您提供九道数学大题，并附上详细解答。

已知函数$f(x)=2x^3-3x^2-12x 5$，求$f'(x)$和$f''(x)$。

解答：首先求导得到$f'(x)=6x^2-6x-12$，再对$f'(x)$求导得到$f''(x)=12x-6$。

已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1 (n-1)d)$，若$a_1=3$，$d=4$，求$a_{10}$。

解答：代入已知条件，得到$S_{10}=\frac{10}{2}(2*3 (10-1)*4)=95$，因此$a_{10}=S_{10}-S_9=95-81=14$。

已知函数$f(x)=\frac{1}{x}$，求$f'(2)$。

解答：首先求导得到$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，代入$x=2$得到$f'(2)=-\frac{1}{4}$。

已知函数$y=x^3 2x^2-3x 1$，求其在点$(1,1)$处的切线方程。

解答：首先求导得到$y'=3x^2 4x-3$，代入$(1,1)$得到斜率$k=4$，切线方程为$y-1=4(x-1)$。

已知函数$f(x)=\ln(x)$，求$f''(1)$。

解答：首先求导得到$f'(x)=\frac{1}{x}$，再对$f'(x)$求导得到$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，代入$x=1$得到$f''(1)=-1$。

已知函数$y=\frac{x^2}{e^x}$，求其在$x=1$处的极值。

解答：首先求导得到$y'=\frac{2x-x^2}{e^x}$，令$y'=0$得到极值点$x=2$，再求二阶导数得到$y''=\frac{2-x}{e^x}$，代入$x=1$得到$y''(1)=\frac{1}{e}>0$，所以$x=1$处为极小值。

已知函数$f(x)=\sqrt{x} 2\ln x$，求其在定义域内的最大值。

解答：首先求导得到$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \frac{2}{x}$，令$f'(x)=0$得到$x=\frac{1}{4}$，再求二阶导数得到$f''(x)=-\frac{1}{4x^2}$，代入$x=\frac{1}{4}$得到$f''(\frac{1}{4})=-16<0$，所以$x=\frac{1}{4}$处为最大值。