考研中值定理证明题技巧总结

中值定理是微积分中的重要定理之一，它是描述连续函数在一个闭区间上一定存在一点的导数等于该区间上的平均变化率的定理。下面我将针对中值定理的考研证明进行详细的解答。

中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个部分。

1. 拉格朗日中值定理：

假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么存在c ∈ (a, b)，使得f'(c) = (f(b) f(a)) / (b a)。

证明：

我们定义一个新的函数g(x) = f(x) kx，其中k = (f(b) f(a)) / (b a)。g(x)在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导。

根据罗尔定理，如果函数在闭区间两端取相等值，那么在开区间内至少存在一个点使得导数为0。由于g(a) = g(b)，根据罗尔定理，存在c ∈ (a, b)，使得g'(c) = 0。

求导得到 g'(c) = f'(c) k，由于g'(c) = 0，我们可以得到 f'(c) = k = (f(b) f(a)) / (b a)。

因此，拉格朗日中值定理得证。

2. 柯西中值定理：

假设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x) ≠ 0，那么存在c ∈ (a, b)，使得[f(b) f(a)] / [g(b) g(a)] = f'(c) / g'(c)。

证明：

我们定义一个新的函数h(x) = f(x) [f(b) f(a)] / [g(b) g(a)] * g(x)。

h(x)在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导。h(a) = h(b)。

根据罗尔定理，存在c ∈ (a, b)，使得h'(c) = 0。求导得到 h'(c) = f'(c) [f(b) f(a)] / [g(b) g(a)] * g'(c) = 0。

移项得到 [f(b) f(a)] / [g(b) g(a)] = f'(c) / g'(c)。

因此，柯西中值定理得证。

拉格朗日中值定理和柯西中值定理的考研证明过程如上所示。掌握这两个定理的证明方法，可以帮助我们更好地理解微积分的基本原理和应用。